Un modelo dinámico

Ha habido diversos modelos de pandemias [3,2] propuestos como sistemas de transición [4]. Presentamos aquí un modelo alternativo propio, inspirado en aquellos pero con características propias: Consideramos tanto transiciones en los modelos clásicos del tipo SIR como las gráficas de contacto y de contagio.

Sea $V$ el conjunto de individuos en una localidad donde se desarrolla una epidemia. En todo momento, se tiene una partición de $V$ en las clases siguientes:

• $S$: la clase de susceptibles, individuos que pueden contagiarse,
• $A$: la clase de asintomáticos, individuos que se han contagiado pero no presentan síntomas,
• $I$: la clase de infecciosos, individuos que se han contagiado y están enfermos,
• $R$: la clase de recuperados, individuos que habiendo sido contagiados, superan el contagio y sanan, y
• $F$: la clase de fallecidos, individuos que han muerto por la enfermedad.

Consideramos inicialmente una gráfica (no-dirigida) de contactos, $G_T = (V, A_T)$ donde los nodos son los individuos y $A_T\subset V^{(2)}$ consta de las aristas consistentes de parejas de individuos con cercanía geográfica, familiares o de trabajo. La distancia entre dos nodos es el número de aristas de las que consta el camino más corto que los une en la gráfica, adirigida, $G_T$. Para cada $v\in V$ sea $\mbox{\rm Vec}(v) = \{u\in V\vert\ uv\in A\}$ la vecindad de $v$ en esa gráfica de contactos, es decir un nodo $u$ es vecino de $v$ si está a distancia 1 de $v$.

Sea $Q = \{S,A,I,R,F\}$ el conjunto de estados que puede asumir cada nodo, o de clases en la que están los nodos. En cada momento $t$ se tiene una función de asignación: $\sigma_t:V\to Q$ que a cada nodo le asocia un estado en el tiempo $t$. Se dice que el individuo $v\in V$ “es” $\sigma_t(v)$ al momento $t$.

Se le da a la gráfica una estructura de transición probabilista. Para cada momento $t$, cada nodo $v\in V$, para todos $x,y\in Q$ sea

$$p_{vtxy} = \mbox{\rm Pr}\left\{\sigma_{t+1}(v) =y\,\vert\,\si... ...\right\}:\ \ \mbox{probabilidad de pasar a $y$ estando en $x$}.$$

La correspondiente matriz de transición es $P_{vt} = \left(p_{vtxy}\right)_{x,y\in Q}$. Las entradas de la matriz de transición se evalúan como sigue:

• “Si el individuo es susceptible, sólo puede ser contagiado por un vecino infectado.” O sea, si $\sigma_t(v) = S$, entonces
  
  $$\exists u\in \mbox{\rm Vec}(v): \sigma_t(u) \in\{A,I\}\ \Longrightarrow\ p_{vtSS} + p_{vtSA} + p_{vtSI} = 1.$$
  
  

• “Los asintomáticos pueden seguir siéndolo, o pasar a ser infecciosos o repuestos” $p_{vtAA} + p_{vtAI} + p_{vtAR} = 1$.
• “Los infecciosos pueden seguir siéndolo, o pasar a ser repuestos o fallecidos”: $p_{vtII} + p_{vtIR} + p_{vtIF} = 1$.
• “Los recuperados sólo pueden seguir siéndolo”: $p_{vtRR} = 1$.
• “Los fallecidos sólo pueden seguir siéndolo”: $p_{vtFF} = 1$.

Se tiene pues la matriz de transición de la forma

$$P_{vt} = \left[\begin{array}{ccccc} p_{vtSS} & p_{vtSA} & p_... ... 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].$$

Figure: Diagrama de transición entre estados.

Ya que $P_{vt}$ es una matriz triangular superior, sus valores propios son los que aparecen en la diagonal. En tanto que las probabilidades de transición efectiva, las mostradas en la Figura 2, sean pequeñas, los valores propios de $P_{vt}$ serán más cercanos a 1, lo que denota una situación de equilibrio o estable. Conforme crecen las probabilidades de transición efectiva, cada individuo habrá de padecer la epidemia para finalizar, ya sea sano o fallecido.

El diagrama de transición correspondiente a la matriz $P_{vt}$ se muestra en la Figura 2. Las probabilidades en la diagonal son las de quedarse en un mismo estado. Para todos $x,y\in Q$ denotemos por $\underline{\mbox{\tt x}}$ a la transición que va de $x$ a $x$ mismo y por $\underline{\mbox{\tt xy}}$ a la que va del estado $x$ al $y$. Así, toda ruta para ir de $S$ a cualquiera de los estados finales se expresa mediante la expresión regular

$$\rho_{S(R+F)} = \underline{\mbox{\tt S}}^* \underline{\mbox{\... ...\tt I}}^*(\underline{\mbox{\tt IR}}+\underline{\mbox{\tt IF}}).$$

En particular, se puede distinguir las clases siguientes de trayectorias:

• De susceptible a fallecido: $\rho_{SF} = \underline{\mbox{\tt S}}^*(\underline{\mbox{\tt SA}}\,\underline{\m... ...+\underline{\mbox{\tt SI}})\underline{\mbox{\tt I}}^*\underline{\mbox{\tt IF}}.$
• De asintomático a recuperado: $\rho_{AR} = \underline{\mbox{\tt A}}^*(\underline{\mbox{\tt AI}}\,\underline{\mbox{\tt I}}^*\underline{\mbox{\tt IR}} + \underline{\mbox{\tt AR}}).$
• De asintomático a fallecido: $\rho_{AF} = \underline{\mbox{\tt A}}^*\underline{\mbox{\tt AI}}\,\underline{\mbox{\tt I}}^*\underline{\mbox{\tt IF}}.$
• De infeccioso a recuperado: $\rho_{IR} = \underline{\mbox{\tt I}}^*\underline{\mbox{\tt IR}}.$
• De infeccioso a fallecido: $\rho_{IF} = \underline{\mbox{\tt I}}^*\underline{\mbox{\tt IF}}.$

Cada transición de un estado a otro, o si se quiere, cada expresión regular, determina una probabilidad. Así  por ejemplo $\mbox{\rm Pr}\left\{\underline{\mbox{\tt S}}^*\right\}$ es la probabilidad de que un individuo no padezca de ningún contagio, la condición $\mbox{\rm Pr}\left\{\rho_{S(R+F)}\right\}=1$ indica que todos los individuos han de pasar por la epidemia, finalizando cada uno como recuperado o fallecido, y la condición $\mbox{\rm Pr}\left\{\underline{\mbox{\tt S}}^*\right\} + \mbox{\rm Pr}\left\{\u... ...mbox{\tt S}}^*\,\underline{\mbox{\tt SA}}\,\underline{\mbox{\tt A}}^*\right\}=1$ indica que la epidemia no tiene infecciosos pero sí se mantiene en estado latente: hay individuos contagiados pero asintomáticos.

Para ilustrar el cálculo de probabilidades, vemos que la probabilidad de recorrer una trayectoria del tipo $\underline{\mbox{\tt S}}^* \underline{\mbox{\tt SA}}\, \underline{\mbox{\tt A}}^* \underline{\mbox{\tt AR}}$ es

$$p=\left[\prod_{\kappa=0}^{\iota-1}p_{v,t+\kappa,SS}\right]p_... ...bda-1}p_{v,t+\iota+\kappa,AA}\right]p_{v,t+\iota+\lambda,AR}.$$ (34)

Suponiendo que las probabilidades involucradas en (34) se mantuvieran constantes en el transcurso de la ruta:

$$p = p_{vtSS}^{\iota}p_{vtSA}p_{vtAA}^{\lambda}p_{vtAR},$$

y en este caso, la probabilidad de arribar al estado $R$ según $\underline{\mbox{\tt S}}^* \underline{\mbox{\tt SA}}\, \underline{\mbox{\tt A}}^* \underline{\mbox{\tt AR}}$ es

$$\begin{eqnarray*} \left[\sum_{\iota=0}^{+\infty}p_{vtSS}^{\iota}\right]p_{vtSA}\... ...{p_{vtSA}}{p_{vtSA}+p_{vtSI}}\frac{p_{vtAR}}{p_{vtAR}+p_{vtAI}}. \end{eqnarray*}$$

De manera similar se calcula la probabilidad de arribar desde cualquiera de los estados de asintomáticos o infecciosos a uno terminal, ya sea de recuperación o de fallecimiento. Sea pues $p_{vtF}$ la probabilidad de arribar desde $A$ o $I$ a $F$ y sea $p_{vtR}$ la de arribar desde $A$ o $I$ a $R$ en algún tiempo futuro:

$$p_{vtE} = \mbox{\rm Pr}\left\{\rho_{AE} + \rho_{IE}\right\}\ \ \mbox{ con }E\in\{R,F\}.$$ (35)

Como es usual en modelos probabilistas, supondremos que $p_{vtE}$ tiene una función de densidad exponencial, $f_E:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$, $t\mapsto f_E(t) = e^{-\lambda_E t}$, donde $\lambda_E\approx\frac{1}{\eta_E}\in\mathbb{R}^+$ es el inverso multiplicativo del número esperado $\eta_E\in\mathbb{Z}^+$ de individuos que “pasan” la epidemia recuperándose, si $E=R$, o falleciendo, si $E=F$.

Por otro lado, para cada tiempo $t\in\mathbb{Z}^+$, sea $G_{Ct} = (V, A_{Ct})$ la gráfica dirigida cuyos nodos son los individuos y $A_{Ct}\subset V^2$ consta de las parejas ordenadas $(u,v)$ tales que $u$ ha contagiado a $v$ antes o en el tiempo $t$. Para cada $u\in V$ tal que $\sigma_t(u)\in \{A,I\}$, sea $p_{utJ}$ la probabilidad de que el individuo $u$, asintomático o infeccioso, contagie a uno susceptible. Naturalmente, se ha de tener:

$$\forall v\in V:\ \left[\sigma_t(s)=S\ \Longrightarrow\ p_{vt... ...n\mbox{\rm Vec}(v)\land\sigma_t(u)\in \{A,I\}\right\}\right].$$ (36)

Con fines de simplificar la modelación, supongamos que es uniforme y no depende del tiempo la probabilidad de que un contagiado contagie a alguien que no lo sea, es decir

$$\exists p_J\in[0,1]\ \forall t\in\mathbb{Z}^+ \forall u\in V:... ...[\sigma_t(u)\in \{A,I\}\ \Longrightarrow\ p_{utJ} = p_J\right].$$

Entonces la condición (36) queda

$$\forall v\in V:\ \left[\sigma_t(s)=S\ \Longrightarrow\ p_{vt... ...eft(\mbox{\rm Vec}(v)\cap \sigma_t^{-1}\{A,I\}\right)\right].$$ (37)

Si $n_{tJ}\in\mathbb{Z}^+$ es el valor esperado del número de contagiados en contacto directo con un individuo susceptible, es decir $n_{tJ} = E\left(\mbox{\rm card}\left(\mbox{\rm Vec}(v)\cap \sigma_t^{-1}\{A,I\}\right)\right)$ entonces la condición (37) queda

$$\forall v\in V:\ \left[\sigma_t(s)=S\ \Longrightarrow\ p_{vtSA} + p_{vtSI} = p_Jn_{tJ}\right].$$ (38)

Pues bien, se tiene:

$$n_{tJ}p_J > \lambda_Rp_R + \lambda_Fp_F \Longrightarrow \mbox{la pandemia se expandir\'a},$$ (39)

$$n_{tJ}p_J \leq \lambda_Rp_R + \lambda_Fp_F \Longrightarrow \mbox{la pandemia se extinguir\'a o quedar\'a en latencia}.%\\$$ (40)

Por otro lado,

$$\forall v\in V:\ \left[\sigma_t(s)=S\ \Longrightarrow\ p_{vtSS} \approx (1-p_J)^{n_{tJ}}\right],$$ (41)

Así pues,

$$(1-p_J)^{n_{tJ}} + p_Jn_{tJ} \approx 1,$$

lo cual establece condiciones entre $n_J$ y $p_J$.

Considérese pues la aplicación polinómica respecto a $p$, pero exponencial respecto a $n$:

$$g_{n}:p\mapsto (1-p)^{n} + np-1.$$

Se tiene que para toda $n\geq 2$, $p=0$ es una raíz de multiplicidad 2 del polinomio $g_n$, sin embargo, ya que el primer sumando de $g_n$ tiende a 0 en $]0,1]$ más rápido que el resto cuando $n$ aumenta de tamaño, habrá una raíz de $g_n$ distinta de cero en $]0,1]$ y ha de tenerse $p\sim n^{-1}$.