Modelo con aislamiento y cuarentena

Este es un modelo más apropiado para epidemias del tipo del Síndrome Respiratorio Agudo Severo (SARS: Severe Acute Respiratory Syndrome). Entre las características de esta epidemia están una propagación rápida, al aparecer los individuos susceptibles tienden a guardar distancia por el riesgo de contagio, existen vacunas para ciertos tipos de influenzas, los casos diagnosticados pueden ser aislados, y revisar a sus contactos cercanos, hay infecciosos asintomáticos y hay riesgo de propagación en hospitales.

Se introduce aquí las clases $Q$ de individuos en cuarentena y $J$ de individuos aislados. Resulta entonces el modelo SEQIJR:

$$\begin{array}{rl} \forall t\in\mathbb{R}^+: & {\displaysty... ...e \frac{d R}{dt}(t) = f_Is_I\,I(t) + f_Js_J\,J(t) } \end{array}$$ (23)

Al igual que antes, $R$ queda determinado por $I$ y $J$.

El parámetro relevante aquí es el número de control de la reproducción (control reproduction number) $R_c$, el cual se calcula como $R_c = \rho_3(0)$ donde

$$\rho_3:t\mapsto \rho_3(t) = \frac{1}{m_E + q_E}\left[p_E + ... ..._I + s_I)} + \frac{p_Jm_I}{s_J}\right]\,(r_0\circ N)(t)\,N(t)$$ (24)

(compárese las expresiones (15), (19), (22)) y (24)).

Los parámetros $m_I$ y $m_E$ son de control en tanto que $p_Q$ y $p_J$ dependen de cuán estrictos son la cuarentena y el aislamiento.

Poniendo a $E$, $Q$, $I$ y $J$ en términos del $S$ y $N$ de las ecuaciones segunda, tercera, cuarta y quinta en (23) se tiene el sistema lineal de ecuaciones

$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c} E \\ Q \\ I \\ J \end{ar... ...) \left[\begin{array}{c} E \\ Q \\ I \\ J \end{array}\right]$$ (25)

donde

$$M(t) = \left[\begin{array}{cccc} p_Er_0(N(t))\,S(t)- (q_E+m_E... ...- (s_I + m_I) & 0 \\ 0 & q_Q & m_I & - s_J \end{array}\right].$$

El polinomio característico de $M(t)$ es de la forma $P_{M(t)}(X) = X^4 + \sum_{i=0}^3c_i(t)X^i$ donde $c_3(t)$ es el negativo de la traza de $M(t)$ y $c_0(t)$ es un múltiplo positivo de $1-\rho_3(t)$. Por tanto, $c_0(t)$ y $1-\rho_3(t)$ tienen el mismo signo. Así, si $\rho_3(t)>1$, el coeficiente $c_0(t)$ es negativo y, en consecuencia, ha de haber un valor propio positivo y para una configuración igual al vector propio correspondiente se tendrá una solución de (25) que crece exponencialmente. En cambio, si $\rho_3(t)<1$, el coeficiente $c_0(t)$ es positivo y, en consecuencia, todos los valores propios han de poseer partes reales negativas, lo que hará que toda solución de (25) tienda a anularse exponencialmente.

Por otro lado, inicialmente se tiene

$$N_0 = N(0) = S(0) + E(0) \ \ \ \land \ \ \ 0 = Q(0) = J(0) = I(0).$$

Se ha de suponer

$$E(t)\mathop{\longrightarrow}_{t\to +\infty}0 \ \ \ \land \ \ ... ... \ \ \ \land \ \ \ I(t)\mathop{\longrightarrow}_{t\to +\infty}0$$

Al sumar la primera ecuación con la segunda en (23) y al integrar se obtiene

$$N_0 - S_{\infty} = (q_E+m_E)\,\int_0^{+\infty}E(t)\,dt$$ (26)

Al integrar la tercera ecuación en (23) se obtiene

$$m_E\,\int_0^{+\infty}E(t)\,dt = q_Q\,\int_0^{+\infty}Q(t)\,dt$$ (27)

Al integrar la cuarta ecuación en (23) se obtiene

$$q_E\,\int_0^{+\infty}E(t)\,dt = (s_I + m_I)\,\int_0^{+\infty}I(t)\,dt$$ (28)

Al integrar la quinta ecuación en (23) se obtiene

$$q_Q\,\int_0^{+\infty}Q(t)\,dt = s_J\,\int_0^{+\infty}J(t)\,dt - m_I\,\int_0^{+\infty}I(t)\,dt$$ (29)

Al integrar la sexta ecuación en (23) se obtiene

$$N_0 - N_{\infty} = (1-f_I)s_I\,\int_0^{+\infty}I(t)\,dt + (1-f_J)s_J\,\int_0^{+\infty}J(t)\,dt$$ (30)

Sustituyendo (27) y (28) en (29) se obtiene

$$s_J\,\int_0^{+\infty}J(t)\,dt = \frac{m_Es_I + m_Em_I + q_Em_I}{s_I + m_I} \,\int_0^{+\infty}E(t)\,dt$$ (31)

Sustituyendo (28) y (31) en (30) se obtiene

$$N_0 - N_{\infty} = \frac{(1-f_I)s_I + (1-f_J)(m_Es_I + m_Em_I + q_Em_I)}{s_I + m_I)} \,\int_0^{+\infty}E(t)\,dt$$

$$= \frac{(1-f_I)s_I + (1-f_J)(m_Es_I + m_Em_I + q_Em_I)}{s_I + m_I)(q_E+m_E)} \,(N_0 - S_{\infty})$$ (32)

De donde se obtiene una expresión similar a (16):

$$\frac{(1-f_I)s_I + (1-f_J)(m_Es_I + m_Em_I + q_Em_I)}{s_I + m_I)(q_E+m_E)} = \frac{N_0 - N_{\infty}}{N_0 - S_{\infty}}.$$ (33)