Modelo continuo exponencial

La población de una cierta comunidad varía con el tiempo como

$$\frac{d N}{dt}(t) = r N(t)\ \ \mbox{ con soluci\'on }N:t\mapsto N(t) = ce^{rt}.$$ (2)

donde $c\in\mathbb{R}$ es una constante de integración. En tiempo discreto, $t_k = t_0 + kh$, con $N_k = N(t_k)$, por el Teorema del Valor Medio se tendrá

$$N_{k+1} - N_k \approx h\frac{dN}{dt}(t_k) = (hr)N_k.$$

O sea $N_{k+1} \approx (1+hr)N_k.$ Para $h=\frac{e^r-1}{r}$ se tendrá, a grandes rasgos $N_{k+1} = e^rN_k,$ lo que refrenda que la solución tiene un crecimiento exponencial: $N_k\approx e^{rk}N(0)$.

Otra modelación es la siguiente

$$\frac{d N}{dt}(t) = r_M \left(1-\frac{N(t)}{N_{\infty}}\right)N(t) = f\circ N(t)$$ (3)

donde $N_{\infty}$ es el máximo de la población en el intervalo de tiempo considerado, $r_M$ es proporcional a la tasa de variación de $N$ en ese punto y $f:n\mapsto f(n) = r_M \left(1-\frac{n}{N_{\infty}}\right)n$. La solución típica de (3) es

$$N:t\mapsto N(t) = N_{\infty} \frac{e^{c N_{\infty}+r_M t}}{e^{cN_{\infty}+r_M t}-1},$$ (4)

donde $c$ es una constante de integración. Puede verse que, en efecto, vale (3), $N(0) = N_{\infty} \frac{e^{c N_{\infty}}}{e^{cN_{\infty}}-1}> N_{\infty}$ y $N(0)$ estará más cercano a $N_{\infty}$ en tanto que $c$ sea más grande, y $\lim_{t\to+\infty}N(t) = N_{\infty}$. Las dos primeras derivadas de la solución son

$$\forall t\in\mathbb{R}^+:\ \frac{d N}{dt}(t) = -\frac{r_M N_{... ...ty}+r_M t}+1\right)}{\left(e^{c N_{\infty}+r_M t}-1\right)^3}.$$

En tiempo discreto, $t_k = t_0 + kh_k$, con $N_k = N(t_k)$. Tomando pasos variables $h_k = 1-\left(\frac{1}{r_M} + \frac{N_k}{N_{\infty}}\right)$, se podría escribir

$$N_{k+1} = e^{r_M\left(1-\frac{N_k}{N_{\infty}}\right)}N(0)\ \... ...n }N(0)= N_{\infty} \frac{e^{c N_{\infty}}}{e^{cN_{\infty}}-1}.$$

El comportamiento de las soluciones en (2) y (4) son disímiles. Denotemos por $N_0$ la solución en (2) y por $c_0$ a su constante de integración, de igual manera denotemos por $N_1$ la solución en (2) y por $c_1$ a su constante de integración. Consideremos la interpolación

$$N_p:t\mapsto (1-p)N_0(t) + pN_1(t) = \frac{e^{r t} }{e^{c_1 ... ...y}} - c_0 (1-p)\left[1 - e^{c_1 N_{\infty}+r t}\right]\right)$$ (5)

cuya derivada es

$$%\begin{equation} \frac{d N_p}{dt}(t) = \frac{r e^{r t}}{\lef... ...ght] - p N_{\infty} e^{c_1 N_{\infty}}\right). %\label{eq.e05}$$

En el punto inicial, $t=0$ se tiene

$$%\begin{equation} \frac{dN_p}{dt}(0) = \frac{r}{\left(e^{c_1 ... ...ight] - p N_{\infty} e^{c_1 N_{\infty}}\right)% \label{eq.e06}$$

y este valor, por lo general, será no-negativo, a menos que $p=1$. Esto significa que inicialmente $N$ es creciente, en las raices de $\frac{dN}{dt}$ tendrá valores extremos y posteriormente, $\lim_{t\to+\infty}N(t) = N_{\infty}$.

La función $N_p$ dada depende de los parámetros $p,r,N_{\infty}, c_0,c_1$ por lo que se debería escribir $N_p= N_{prN_{\infty}c_0c_1}$. Así pues, dada una muestra de valores $M = \left((t_i,n_i)\right)_{i=0}^{k-1}$, donde se quiere que $\forall i\in[\![0,k-1]\!]$: $n_i\approx N_{prN_{\infty}c_0c_1}(t_i)$ se ha de localizar los parámetros $p,r,N_{\infty}, c_0,c_1$ mediante cuadrados mínimos.

Problema 1.1 (De cuadrados mínimos)   Sea $N_{\bf p}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función contínua que depende de los parámetros ${\bf p}\in\mathbb{R}^m$. Supongamos dada una muestra de valores $M = \left((t_i,n_i)\right)_{i=0}^{k-1}$, donde se quiere que $\forall i\in[\![0,k-1]\!]$: $n_i\approx N_{\bf p}(t_i)$. Se define los vectores (columnas) ${\bf N}_{\bf p} = \left(N_{\bf p}(t_i)\right)_{i=0}^{k-1}$ y ${\bf n} = \left(n_i\right)_{i=0}^{k-1}$, así como

$$D({\bf N}_{\bf p},M) = \Vert{\bf N}_{\bf p}-M\Vert^2 = \sum_{i=0}^{k-1}\vert N_{\bf p}(t_i)-n_i\Vert^2.$$

Calcúlese ${\bf p}_0 = \mathop{\mbox{\rm arg min}}_{\bf p}D({\bf N}_{\bf p},M)$.