Modelo con tasa general de contacto

En las ecuaciones (7), en vez de que $r_0$ sea constante, se le supone como una función de la población actual:

$$\forall n\in\mathbb{R}^+: \ r_0(n) = \frac{D(n)}{n},$$ (13)

donde $D:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ es no-decreciente. Bajo la suposición de que la tasa de contactos ha de saturarse, se impone la condición $\frac{dr_0}{dn}\leq 0$, la cual impone a su vez $r_0(n) + n\ \frac{dr_0}{dn}\geq 0.$

En algunos modelos, $D$ se considera de las formas siguientes

$$n\mapsto \frac{a\,n}{1+b\,n}\ \ \ ,\ \ \ n\mapsto \frac{a\,n}{1+b\,n + \sqrt{1 + 2b\,n}}\ \ \ ,\ \ \ n\mapsto b\,n^a$$

para algunas constantes $a,b\in\mathbb{R}$ adecuadas (en la tercera función, $a\sim 10^{-3}$).

Supongamos que de la población que deja de estar entre los infecciosos, una fracción $f$ es debido a que se recupera y la proporción complementaria $(1-f)$ lo hace por fallecimiento. Denotemos por $N:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ a la función que describe la población total actual. Se tiene entonces el sistema de ecuaciones

$$\begin{array}{rl} \forall t\in\mathbb{R}^+: & {\displaystyl... ...& {\displaystyle \frac{d R}{dt}(t) = -fs_0\,I(t). } \end{array}$$ (14)

y también en este caso, la última está determinada por las tres primeras. El número básico de reproducción es $R_0 = \rho_0(0)$, donde

$$\rho_0:t\mapsto \rho_0(t) = \frac{r_0(N(t))}{s_0}S(t) = \frac{1}{s_0}(r_0\circ N)(t)\,S(t).$$ (15)

La epidemia ha de fenecer si a la larga $\rho_0<1$. Derivando (15) se ha de tener

$$\begin{eqnarray*} \frac{d \rho_0}{dt}(t) &=& \frac{1}{s_0}\left[(r_0\circ N)(t)\... ...left[(r_0\circ N)(t) + (1-f)s_0 \frac{r_0'}{r_0}(N)(t))\right] \end{eqnarray*}$$

y esta derivada será no-negativa sólo cuando $(r_0\circ N)(t) + (1-f)s_0 \frac{r_0'}{r_0}(N)(t)) \leq 0$. Ahora

$$\begin{eqnarray*} (r_0\circ N)(t) + (1-f)s_0 \frac{r_0'}{r_0}(N)(t)) &\leq& 0 \h... ...ft((r_0\circ N)(t)\right)^2}{(1-f)s_0} &\geq& (r_0'\circ N)(t)) \end{eqnarray*}$$

Así pues, a menos que $r_0$ tuviese una derivada “muy negativa”, es decir, decreciera a gran ritmo, o sea que los susceptibles pasarían con mayor rapidez a la clase de los infeccciosos, la función $\rho_0$ ha de ser no-creciente.

Por otro lado, de (14), se tiene

$$\frac{d S}{dt}(t) + \frac{d I}{dt}(t) = - s_0\,I(t)\ \ \ \land\ \ \ \frac{d N}{dt}(t) = - s_0(1-f)\,I(t)$$

y al integrar

$$(S(t_0)+I(t_0)) - (S(0)+I(0)) = - s_0\,\int_0^{t_0}I(t)\,dt\ \ \ \land\ \ \ N(t_0)-N(0) = - s_0(1-f)\,\int_0^{t_0}I(t)\,dt.$$

Al inicio, $n=N_0$ es la población cuando comienza la infección, a la larga $n=n_{\infty}$ es la población restante cuando la epidemia fenece. Puesto que $S(0)+I(0) = N_0 = N(0)$ se ha de tener

$$(1-f)(S(t_0)+I(t_0)-N_0) = N(t_0)-N_0\ \ \mbox{ o sea }\ \ N_0-N(t_0) = (1-f)(N_0 - S(t_0)-I(t_0)).$$

Haciendo $S_{\infty} = \lim_{t_0\to+\infty} S(t_0)$ y suponiendo que $N$ es decreciente así como $\lim_{t_0\to+\infty} I(t_0) = 0$ (es decir, la epidemia fenece), $N_0-n_{\infty} = (1-f)(N_0 - S_{\infty})$ o sea

$$(1-f) = \frac{N_0-N_{\infty}}{N_0-S_{\infty}}.$$ (16)