Modelo con períodos de exposición

Se considera aquí a la clase de individuos que “potencialmente” son infecciosos pero son asintomáticos. Así, inicialmente $N_0 = S(0) + E(0) + I(0) + R(0)$. Se tiene ahora el sistema de ecuaciones

$$\begin{array}{rl} \forall t\in\mathbb{R}^+: & {\displaystyl... ... & {\displaystyle \frac{d R}{dt}(t) = -fs_0\,I(t) } \end{array}$$ (17)

y $R$ queda determinada por las primeras variables $S$, $E$, $I$. Este modelo se trata de manera similar al visto en la sección 2.2 donde la vaiable $I$ de ahí se sustituye por $E+I$ de este caso. Se ve pues que $E$ tiene poca relevancia.

Supongamos ahora que una fracción de la población asintomática efectivamente transmite la infección. Digamos,

$$\begin{array}{rl} \forall t\in\mathbb{R}^+: & {\displaystyl... ... \frac{d I}{dt}(t) = \ \ \ q_E\,E(t) - s_0\,I(t) } \end{array}$$ (18)

En este caso se tendrá que el número básico de reproducción es $R_0 = \rho_1(0)$ donde

$$\rho_1:t\mapsto \rho_1(t) = \frac{1}{s_0}(r_0\circ N)(t)\,N(... ...[\frac{1}{s_0} + \frac{p_E}{q_E}\right](r_0\circ N)(t)\,N(t).$$ (19)

Integrando las ecuaciones para $\frac{d I}{dt}(t)$ y $\frac{d N}{dt}(t)$ en (17) se obtiene

$$N_0-S_{\infty} = q_E\int_0^{+\infty}E(t)\,dt$$

y de la primera ecuación en (18) se obtiene

$$\log s_0 - \log S_{\infty} = - \int_0^{+\infty}\frac{1}{S(t)}\frac{d S}{dt}(t)\,dt$$

$$= \ \ \int_0^{+\infty} r_0(N(t))\,(I(t) + p_E\,E(t))\,dt$$ (20)

suponiendo que $r_0$ es decreciente y que $I(t)\approx \frac{q_E}{s_0}\,E(t)$ se ha de tener

$$\begin{eqnarray*} \log \frac{S(0)}{S_{\infty}} &\geq& r_0\circ N(0)\int_0^{+\inf... ...}E(t)\,dt \\ &=& R_0\left[-\frac{S_{\infty}}{N(0)} + 1\right] \end{eqnarray*}$$

de donde se obtiene un estimativo del valor a la larga $S_{\infty}$.